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Question

(B) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } f(x)g(x)}$ यदि $\mathop {\

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$a = 1, b \in \mathbb{R}$

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(B) हम जानते हैं कि $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {(1 + f(x))^{g(x)}} = e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } f(x)g(x)}$ यदि $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } f(x) = 0$ हो।दिया गया है $\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}} ight)^{2x}} = {e^2}$।सूत्र का उपयोग करने पर,हमें $e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } (\frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}) \cdot 2x} = {e^2}$ प्राप्त होता है।यह $e^{\mathop {\lim }\limits_{x 	o \infty } (2a + \frac{2b}{x})} = {e^2}$ में सरल हो जाता है।सीमा का मूल्यांकन करने पर,हमें $e^{2a + 0} = {e^2}$ प्राप्त होता है।अतः,$e^{2a} = {e^2}$,जिसका अर्थ है $2a = 2$,इसलिए $a = 1$।चूंकि जैसे-जैसे $x 	o \infty$ होता है,पद $\frac{b}{x^2}$ शून्य हो जाता है,इसलिए $b$ कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है।अतः,$a = 1$ और $b \in \mathbb{R}$।

यदि $\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {\left( {1 + \frac{a}{x} + \frac{b}{{{x^2}}}} \right)^{2x}} = {e^2}$ है,तो $a$ और $b$ के मान ज्ञात कीजिए।

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