જો $\theta$ એ ઉપવલય $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ પરના કોઈ બિંદુનો ઉત્કેન્દ્રકોણ (eccentric angle) હોય, જેથી કેન્દ્રથી તે બિંદુનું અંતર $5$ હોય, તો $\theta = ......$

નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય છે અને કયું અસત્ય છે? દરેક કિસ્સામાં તમારા જવાબ માટે યોગ્ય કારણ આપો.
$r:$ વર્તુળ એ ઉપવલયનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ તેની અર્ધ-મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ જેટલી છે. જો તેના ડાયરેક્ટર વર્તુળની ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ હોય અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા હોય,તો તેના લેટસ રેક્ટમની લંબાઈ કેટલી થાય?

ધારો કે $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b < a)$ એ એક ઉપવલય છે જેની મુખ્ય અક્ષ $AB$ અને ગૌણ અક્ષ $CD$ છે. ધારો કે $F_1$ અને $F_2$ તેના બે નાભિઓ છે,જેમાં $A, F_1, F_2, B$ એ $AB$ રેખાખંડ પર તે ક્રમમાં છે. જો $\angle F_1CB = 90^{\circ}$ હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

એવા ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $20$ છે અને નાભિઓ $(0, \pm 5)$ છે.

જો $C$ એ ઉપવલય $9x^2 + 16y^2 = 144$ નું કેન્દ્ર હોય અને $S$ એ એક નાભિ હોય,તો $CS$ અને પ્રધાન અક્ષનો ગુણોત્તર કેટલો થાય?