જો $\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$ હોય, તો બિંદુ $P(a, b, c)$ નું સમતલ $2x + y + 2z = 10$ થી અંતર કેટલું થાય ($\text{ એકમ}$ માં)?

$x, y, z$ માં સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો: $x+2y+tz=0, 6x+y+5tz=0, 3x+t^2y+z=0$. જો આ સિસ્ટમને તમામ $t \in R$ માટે અનંત ઉકેલો હોય, તો સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક તમામ $t$ માટે શૂન્ય હોવો જોઈએ. ધારો કે $D(t)$ એ સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક છે. જો તમામ $t$ માટે $D(t) = 0$ હોય, તો શરતનું વિશ્લેષણ કરો.

જો સમીકરણોની સંહતિ $x+y+z=5$, $x+2y+2z=6$ અને $x+3y+\lambda z=\mu$ (જ્યાં $\lambda, \mu \in R$) મેટ્રિક્સ ઇન્વર્ઝન પદ્ધતિ (શ્રેણિકના વ્યસ્તની રીત) દ્વારા ઉકેલી શકાય તેવી હોય, તો:

મેટ્રિક્સ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીને નીચેના સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમને ઉકેલો:
$5x + 2y = 3$
$3x + 2y = 5$

જો $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક હોય અને $|x|$ એ $x$ નું માનાંક હોય,તો ત્રણ સમીકરણોની સિસ્ટમ $\begin{aligned} & 2x + 3|y| + 5[z] = 0, \\ & x + |y| - 2[z] = 4, \\ & x + |y| + [z] = 1 \end{aligned}$ ને

$3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ ની સંખ્યા શોધો,જેના ઘટકો $1$ અથવા $-1$ હોય અને જેના માટે સમીકરણ સંહતિ $A\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ ને બરાબર ત્રણ ભિન્ન ઉકેલો હોય.