यदि sum_{n=1}^{2026} tan^{-1}(frac{1}{n^2+n+1 | vedclass

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Question

(C) हम सर्वसमिका $	an^{-1}(a) - 	an^{-1}(b) = 	an^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करते हैं।ध्यान दें कि $\frac{1}{n^2+n+1} = \frac{(n+1)-n}{1+n(n+

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$1014$

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(C) हम सर्वसमिका $	an^{-1}(a) - 	an^{-1}(b) = 	an^{-1}(\frac{a-b}{1+ab})$ का उपयोग करते हैं।ध्यान दें कि $\frac{1}{n^2+n+1} = \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}$ है।अतः, $	an^{-1}(\frac{1}{n^2+n+1}) = 	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n)$ है।योग $\sum_{n=1}^{2026} (	an^{-1}(n+1) - 	an^{-1}(n))$ है।यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(	an^{-1}(2) - 	an^{-1}(1)) + (	an^{-1}(3) - 	an^{-1}(2)) + \dots + (	an^{-1}(2027) - 	an^{-1}(2026))$।योग सरल होकर $	an^{-1}(2027) - 	an^{-1}(1)$ हो जाता है।सर्वसमिका का पुनः उपयोग करने पर: $	an^{-1}(2027) - 	an^{-1}(1) = 	an^{-1}(\frac{2027-1}{1+2027 \cdot 1}) = 	an^{-1}(\frac{2026}{2028}) = 	an^{-1}(\frac{1013}{1014})$।हमें $	an^{-1}(1 - \frac{1}{x}) = 	an^{-1}(\frac{1013}{1014})$ दिया गया है।अतः, $1 - \frac{1}{x} = \frac{1013}{1014} \implies \frac{1}{x} = 1 - \frac{1013}{1014} = \frac{1}{1014}$।इसलिए, $x = 1014$।

यदि $\sum_{n=1}^{2026} \tan^{-1}(\frac{1}{n^2+n+1}) = \tan^{-1}(1 - \frac{1}{x})$, जहाँ $x \neq 0$, तो $x = $

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