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Question

(A) दिया गया है कि $\int {f(x)\,dx = f(x)} $. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \int {f(x)\,dx} \right) = \frac{d}{dx

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$\frac{1}{2}{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2}$

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(A) दिया गया है कि $\int {f(x)\,dx = f(x)} $. दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} \left( \int {f(x)\,dx} \right) = \frac{d}{dx} f(x)$ $f(x) = f'(x)$. अब,हमें $\int {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}\,dx}$ का मान ज्ञात करना है। चूंकि $f(x) = f'(x)$,हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\int {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}\,dx} = \int {f(x) \cdot f'(x)\,dx}$. माना $f(x) = u$,तो $f'(x)\,dx = du$. समाकलन $\int {u\,du} = \frac{u^2}{2} + C$ बन जाता है। $u = f(x)$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2}{\left[ {f(x)} \right]^2} + C$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $A$ है।

यदि $\int {f(x)\,dx = f(x)} ,$ है,तो $\int {{{\left[ {f(x)} \right]}^2}\,dx}$ क्या होगा?

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$\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$ है,तो $f(x)$ ज्ञात कीजिए।

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