int cos ^{3} x cdot e^{log (sin x)} d x का मा | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \cos ^{3} x \cdot e^{\log (\sin x)} d x$. चूंकि $e^{\log (\sin x)} = \sin x$,इसलिए समाकलन $I = \int \cos ^{3} x \sin x d x$ हो जाता

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$-\frac{\cos ^{4} x}{4}+c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \cos ^{3} x \cdot e^{\log (\sin x)} d x$. चूंकि $e^{\log (\sin x)} = \sin x$,इसलिए समाकलन $I = \int \cos ^{3} x \sin x d x$ हो जाता है। माना $u = \cos x$. तब $du = -\sin x d x$,जिसका अर्थ है कि $\sin x d x = -du$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$I = \int u^{3} (-du) = -\int u^{3} du$. $u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$I = -\frac{u^{4}}{4} + c$. अंत में $u = \cos x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = -\frac{\cos ^{4} x}{4} + c$ प्राप्त होता है।

$\int \cos ^{3} x \cdot e^{\log (\sin x)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int \frac{dx}{x \sqrt{1-x^3}} = k \log \left(\frac{\sqrt{1-x^3}-1}{\sqrt{1-x^3}+1}\right) + c$,(जहाँ $c$ समाकलन का एक स्थिरांक है),तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int \frac{\sin x}{\cos x(1+\cos x)} d x=f(x)+c$ है, तो $f(x)$ किसके बराबर है?

माना $n \geq 2$ के लिए $f(x) = \frac{x}{(1+x^n)^{1/n}}$ और $g(x) = \underbrace{(f \circ f \circ \ldots \circ f)}_{n \text{ बार }}(x)$ है। तो $\int x^{n-2} g(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)$,$g(x)$ का प्रति-अवकलज (anti-derivative) है और $\int f(x) g(x) (1 + f^2(x)) dx = F(x)$ है,तो $F(x) =$

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