यदि f(x),g(x) का प्रति-अवकलज (anti-derivative | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f(x)$,$g(x)$ का प्रति-अवकलज है,इसलिए $f'(x) = g(x)$ है।हमें समाकलन $F(x) = \int f(x) g(x) (1 + f^2(x)) dx$ का मान ज्ञात करना है।मा

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$\frac{(1 + f^2(x))^2}{4} + C$

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(A) दिया गया है कि $f(x)$,$g(x)$ का प्रति-अवकलज है,इसलिए $f'(x) = g(x)$ है।हमें समाकलन $F(x) = \int f(x) g(x) (1 + f^2(x)) dx$ का मान ज्ञात करना है।माना $u = 1 + f^2(x)$ है।अतः,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$du = 2 f(x) f'(x) dx$ प्राप्त होता है।चूंकि $f'(x) = g(x)$ है,इसलिए $du = 2 f(x) g(x) dx$,जिसका अर्थ है कि $f(x) g(x) dx = \frac{du}{2}$ है।इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,$F(x) = \int u \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u du$ प्राप्त होता है।समाकलन करने पर,$F(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^2}{2} + C = \frac{u^2}{4} + C$ प्राप्त होता है।$u = 1 + f^2(x)$ वापस रखने पर,$F(x) = \frac{(1 + f^2(x))^2}{4} + C$ प्राप्त होता है।

यदि $f(x)$,$g(x)$ का प्रति-अवकलज (anti-derivative) है और $\int f(x) g(x) (1 + f^2(x)) dx = F(x)$ है,तो $F(x) =$

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