यदि x = e^t sin t और y = e^t cos t है,जहाँ t | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $x = e^t \sin t$ और $y = e^t \cos t$। बिंदु $(1, 1)$ पर,$1 = e^t \sin t$ और $1 = e^t \cos t$ है।इनका भाग देने पर,$	an t = 1$ प्राप्त

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$-\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $x = e^t \sin t$ और $y = e^t \cos t$। बिंदु $(1, 1)$ पर,$1 = e^t \sin t$ और $1 = e^t \cos t$ है।इनका भाग देने पर,$	an t = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t = \frac{\pi}{4}$।सबसे पहले,$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{dx}{dt} = e^t \sin t + e^t \cos t = e^t(\sin t + \cos t)$$\frac{dy}{dt} = e^t \cos t - e^t \sin t = e^t(\cos t - \sin t)$अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}$।अब,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\cos t - \sin t}{\cos t + \sin t}ight) \cdot \frac{dt}{dx}$।भागफल नियम का उपयोग करने पर:$= \frac{(\cos t + \sin t)(-\sin t - \cos t) - (\cos t - \sin t)(-\sin t + \cos t)}{(\cos t + \sin t)^2} = \frac{-2}{(\cos t + \sin t)^2}$।इस प्रकार,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{(\cos t + \sin t)^2} \cdot \frac{1}{e^t(\sin t + \cos t)} = \frac{-2}{e^t(\sin t + \cos t)^3}$।$t = \frac{\pi}{4}$ रखने पर,$e^t \sin t = 1$ और $e^t \cos t = 1$,अतः $e^t = \sqrt{2}$ और $\sin t = \cos t = \frac{1}{\sqrt{2}}$।मान रखने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-2}{\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}})^3} = \frac{-2}{\sqrt{2}(\sqrt{2})^3} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$।

यदि $x = e^t \sin t$ और $y = e^t \cos t$ है,जहाँ $t$ एक प्राचल है,तो $(1, 1)$ पर $\frac{d^2y}{dx^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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