જો f(x) = e^{-x} + 2e^{-2x} + 3e^{-3x} + dots | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ શ્રેણી $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(e^{-x})^n$ છે. આ $\sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ પ્રકારની શ્રેણી છે જ્યાં $x = e^{-x}$ છે.તેથી,$f(x) = \

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ શ્રેણી $f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n(e^{-x})^n$ છે. આ $\sum nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$ પ્રકારની શ્રેણી છે જ્યાં $x = e^{-x}$ છે.તેથી,$f(x) = \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2}$.આપણે $I = \int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{e^{-x}}{(1-e^{-x})^2} \, dx$ ની કિંમત શોધવાની છે.ધારો કે $u = 1 - e^{-x}$. તો $du = e^{-x} \, dx$.જ્યારે $x = \ln 2$,ત્યારે $u = 1 - e^{-\ln 2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.જ્યારે $x = \ln 3$,ત્યારે $u = 1 - e^{-\ln 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.તેથી,$I = \int_{1/2}^{2/3} \frac{1}{u^2} \, du = \left[ -\frac{1}{u} \right]_{1/2}^{2/3}$.$I = -\left( \frac{1}{2/3} - \frac{1}{1/2} \right) = -\left( \frac{3}{2} - 2 \right) = -\left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}$.

જો $f(x) = e^{-x} + 2e^{-2x} + 3e^{-3x} + \dots + \infty$ હોય,તો $\int_{\ln 2}^{\ln 3} f(x) \, dx =$

Similar Questions

$\int_{-2}^2 |x^2-x-2| dx =$

ધારો કે $x \in R$ માટે,$S_0(x) = x$,$S_k(x) = C_k x + k \int_0^x S_{k-1}(t) dt$,જ્યાં $C_0 = 1$,$C_k = 1 - \int_0^1 S_{k-1}(x) dx$,$k = 1, 2, 3, \ldots$. તો $S_2(3) + 6C_3$ ની કિંમત $...........$ થાય.

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\sin 2 x(\tan ^5 x+\cot ^5 x)} dx$ ની કિંમત શોધો.

સંકલન $\int_{-1}^{\frac{3}{2}} |\pi^2 x \sin(\pi x)| \, dx$ ની કિંમત શોધો:

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_2^3 {\left[ {\sqrt {2x - \sqrt {5(4x - 5)} } + \sqrt {2x + \sqrt {5(4x - 5)} } } \right]} \,dx$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module