यदि alpha in (2, 3) है,तो समीकरण int_{0}^{alp | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ है। समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $[\sin(x + \alpha^2)]_{0}^{\alpha} = \

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(B) दिया गया समीकरण $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ है। समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $[\sin(x + \alpha^2)]_{0}^{\alpha} = \sin \alpha$। यह $\sin(\alpha + \alpha^2) - \sin(\alpha^2) = \sin \alpha$ में सरल हो जाता है। सूत्र $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर: $2 \cos(\alpha^2 + \frac{\alpha}{2}) \sin(\frac{\alpha}{2}) = 2 \sin(\frac{\alpha}{2}) \cos(\frac{\alpha}{2})$। चूंकि $\alpha \in (2, 3)$,$\sin(\frac{\alpha}{2}) 
eq 0$,इसलिए $2 \sin(\frac{\alpha}{2})$ से विभाजित करने पर: $\cos(\alpha^2 + \frac{\alpha}{2}) = \cos(\frac{\alpha}{2})$। इसका अर्थ है $\alpha^2 + \frac{\alpha}{2} = 2n\pi \pm \frac{\alpha}{2}$। स्थिति $1$: $\alpha^2 = 2n\pi \Rightarrow \alpha = \sqrt{2n\pi}$। $\alpha \in (2, 3)$ के लिए,$n=1$ लेने पर $\alpha = \sqrt{2\pi} \approx 2.506$। स्थिति $2$: $\alpha^2 + \alpha - 2n\pi = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8n\pi}}{2}$। $n=1$ के लिए,$\alpha = \frac{-1 + \sqrt{1 + 8\pi}}{2} \approx 2.06$। दोनों मान $(2, 3)$ के बीच स्थित हैं,अतः कुल $2$ हल प्राप्त होते हैं।

यदि $\alpha \in (2, 3)$ है,तो समीकरण $\int_{0}^{\alpha} \cos(x + \alpha^2) \, dx = \sin \alpha$ के हलों की संख्या क्या है?

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