यदि beta + 2 intlimits_0^1 {{x^2},{e^{ - {x^2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $\beta + 2 \int\limits_0^1 x^2 e^{-x^2} dx = \int\limits_0^1 e^{-x^2} dx$. यहाँ हम $\int\limits_0^1 x(2x e^{-x^2}) dx$ के लिए खंड

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$e^{-1}$

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(A) दिया गया समीकरण: $\beta + 2 \int\limits_0^1 x^2 e^{-x^2} dx = \int\limits_0^1 e^{-x^2} dx$. यहाँ हम $\int\limits_0^1 x(2x e^{-x^2}) dx$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करेंगे। माना $u = x$ और $dv = 2x e^{-x^2} dx$. अतः $du = dx$ और $v = -e^{-x^2}$. सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर: $\int\limits_0^1 x(2x e^{-x^2}) dx = [ -x e^{-x^2} ]_0^1 - \int\limits_0^1 (-e^{-x^2}) dx$. इस मान को मूल समीकरण में रखने पर: $\beta + [ -x e^{-x^2} ]_0^1 + \int\limits_0^1 e^{-x^2} dx = \int\limits_0^1 e^{-x^2} dx$. दोनों पक्षों से $\int\limits_0^1 e^{-x^2} dx$ घटाने पर: $\beta + [ -x e^{-x^2} ]_0^1 = 0$. $\beta - (1 \cdot e^{-1} - 0 \cdot e^0) = 0$. $\beta - e^{-1} = 0$. $\beta = e^{-1} = \frac{1}{e}$.

यदि $\beta + 2 \int\limits_0^1 {{x^2}\,{e^{ - {x^2}}}}\, dx = \int\limits_0^1 {{e^{ - {x^2}}}}\, dx$ है,तो $\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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