यदि intlimits_0^2 375 x^5 (1 + x^2)^{-4} dx = | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^2 \frac{375 x^5}{(1 + x^2)^4} dx$. $u = 1 + x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 2x dx$,अतः $x^2 = u - 1$ और $x dx = \frac{du}{2}$ प्र

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$5$

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(B) माना $I = \int_0^2 \frac{375 x^5}{(1 + x^2)^4} dx$. $u = 1 + x^2$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = 2x dx$,अतः $x^2 = u - 1$ और $x dx = \frac{du}{2}$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तब $u = 1$. जब $x = 2$,तब $u = 5$. $I = \int_1^5 \frac{375 (x^2)^2 x}{(1 + x^2)^4} dx = \int_1^5 \frac{375 (u - 1)^2}{u^4} \cdot \frac{du}{2}$. $I = \frac{375}{2} \int_1^5 \frac{u^2 - 2u + 1}{u^4} du = \frac{375}{2} \int_1^5 (u^{-2} - 2u^{-3} + u^{-4}) du$. $I = \frac{375}{2} \left[ -u^{-1} + u^{-2} - \frac{1}{3} u^{-3} \right]_1^5$. $I = \frac{375}{2} \left[ (-\frac{1}{5} + \frac{1}{25} - \frac{1}{375}) - (-1 + 1 - \frac{1}{3}) \right]$. $I = \frac{375}{2} \left[ \frac{-75 + 15 - 1}{375} + \frac{1}{3} \right] = \frac{375}{2} \left[ \frac{-61}{375} + \frac{125}{375} \right] = \frac{375}{2} \cdot \frac{64}{375} = \frac{64}{2} = 32$. चूँकि $32 = 2^5$,इसलिए $2^n = 2^5$,जिसका अर्थ है कि $n = 5$.

यदि $\int\limits_0^2 375 x^5 (1 + x^2)^{-4} dx = 2^n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

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