यदि A_n = int_{0}^{pi /2} frac{sin((2n-1)x)}{ | vedclass

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Question

(D) $A_{n+1} - A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ पर विचार करें। सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{

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$(A)$ और $(B)$ दोनों

Vedclass · Answer

(D) $A_{n+1} - A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ पर विचार करें। सर्वसमिका $\sin C - \sin D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \sin(\frac{C-D}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin((2n+1)x) - \sin((2n-1)x) = 2 \cos(2nx) \sin x$ प्राप्त होता है। अतः,$A_{n+1} - A_n = \int_{0}^{\pi /2} 2 \cos(2nx) dx = [\frac{\sin(2nx)}{n}]_{0}^{\pi /2} = 0$. इसलिए,$A_{n+1} = A_n$. अब $B_{n+1} - B_n = \int_{0}^{\pi /2} (\frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin^2 x}) dx$ पर विचार करें। $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B) \sin(A+B)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx) = \sin(x) \sin((2n+1)x)$ प्राप्त होता है। इसलिए,$B_{n+1} - B_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin(x) \sin((2n+1)x)}{\sin^2 x} dx = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx = A_{n+1}$. अतः,$(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

यदि $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ और $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ जहाँ $n \in N$,तो:

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