જો $a, b, c$ બધા અલગ હોય અને $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 - 1 \\ b & b^3 & b^4 - 1 \\ c & c^3 & c^4 - 1 \end{array} \right| = 0$ હોય,તો:

જો $\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \beta & \gamma \\ a & b & c \\ l & m & n\end{array}\right|=(-1)^K\left|\begin{array}{ccc}m & n & l \\ b & c & a \\ \beta & \gamma & \alpha\end{array}\right|$ હોય, તો $K$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધો.

જો ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}, \dots$ એ $G$.$P$. માં હોય અને દરેક $i$ માટે ${a_i} > 0$ હોય,તો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} \log {a_n} & \log {a_{n+2}} & \log {a_{n+4}} \\ \log {a_{n+6}} & \log {a_{n+8}} & \log {a_{n+10}} \\ \log {a_{n+12}} & \log {a_{n+14}} & \log {a_{n+16}} \end{vmatrix}$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?

નિશ્ચાયકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે:
$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3y+k)$

જો ${I_1} = \int\limits_1^{\sin \theta } {\frac{x}{{1 + x^2}}} \,dx$ અને ${I_2} = \int\limits_1^{\csc \theta } {\frac{{dx}}{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}}$; તો $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{I_1}}&{I_1^2}&{{I_2}} \\ {{e^{{I_1} + {I_2}}}}&{I_2^2}&{ - 1} \\ 1&{I_1^2 + I_2^2}&{ - 1} \end{array}} \right|$ નું મૂલ્ય શોધો.

સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{ccc}a^{2} & b c & a c+c^{2} \\ a^{2}+a b & b^{2} & a c \\ a b & b^{2}+b c & c^{2}\end{array}\right|=4 a^{2} b^{2} c^{2}$