यदि $x, y, z$ सभी एक साथ शून्य के बराबर नहीं हैं,और समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं:
$(\sin 3 \theta) x - y + z = 0$
$(\cos 2 \theta) x + 4 y + 3 z = 0$
$2 x + 7 y + 7 z = 0$
तो $\theta$ के मुख्य मानों की संख्या है

यदि $\left|\begin{array}{cc}x & 2 \\ 18 & x\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}6 & 2 \\ 18 & 6\end{array}\right|,$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\left|\begin{array}{cc}x & x+1 \\ x-1 & x\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

सारणिक $\left| \begin{array}{ccc} a & b & a\alpha + b \\ b & c & b\alpha + c \\ a\alpha + b & b\alpha + c & 0 \end{array} \right| = 0$ है,यदि $a, b, c$ किसमें हैं?

यदि $\omega \neq 1$ इकाई का घनमूल है, तो सारणिक $\left|\begin{array}{ccc}\omega+\omega^2 & \omega^2+\omega^9 & \omega^9+\omega \\ \omega^{27}+\omega^{31} & \omega^{31}+\omega^{17} & \omega^{17}+\omega^{27} \\ \omega^{30}+\omega^{41} & \omega^{41}+\omega^{19} & \omega^{19}+\omega^{30}\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$t$ के उन वास्तविक मानों की संख्या क्या है जिनके लिए समघात समीकरण निकाय
$\begin{aligned}
t x+(t+1) y+(t-1) z &=0 \\
(t+1) x+t y+(t+2) z &=0 \\
(t-1) x+(t+2) y+t z &=0
\end{aligned}$
का अशून्य (non-trivial) हल है?