यदि n एक धनात्मक पूर्णांक है जैसे कि n ge 3,त | vedclass

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Question

(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ है।इसे $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \

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$0$

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(A) दी गई श्रेणी $S = \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} (n-r)$ है।इसे $S = n \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} - \sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r r \binom{n-1}{r}$ के रूप में लिखा जा सकता है।पहले भाग के लिए,$\sum_{r=0}^{n-1} (-1)^r \binom{n-1}{r} = (1-1)^{n-1} = 0$ होता है,जहाँ $n \ge 2$ है।दूसरे भाग के लिए,$r \binom{n-1}{r} = (n-1) \binom{n-2}{r-1}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sum_{r=1}^{n-1} (-1)^r (n-1) \binom{n-2}{r-1} = -(n-1) (1-1)^{n-2}$।$n > 2$ के लिए,$(1-1)^{n-2} = 0$,इसलिए योग $0$ है।

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यदि ${}^{20}C_{r}$,$(1+x)^{20}$ के विस्तार में $x^{r}$ का गुणांक है,तो $\sum_{r=0}^{20} r^{2} \cdot {}^{20}C_{r}$ का मान किसके बराबर है?

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मान लीजिए $S_1 = \sum_{j=1}^{10} j(j-1) \binom{10}{j}$,$S_2 = \sum_{j=1}^{10} j \binom{10}{j}$,और $S_3 = \sum_{j=1}^{10} j^2 \binom{10}{j}$.
कथन $(A) : S_3 = 55 \times 2^9$
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