यदि r = 0, 1, 2, dots, 2016 के लिए T_r = ^{20 | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $T_r = {^{2016}C_r} x^{2016-r}$।
द्विपद विस्तार (Binomial Expansion) पर विचार करें:
$(x + 1)^{2016} = \sum_{r=0}^{2016} {^{2016}C_r}

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$(x^2 + 1)^{2016}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है $T_r = {^{2016}C_r} x^{2016-r}$।
द्विपद विस्तार (Binomial Expansion) पर विचार करें:
$(x + 1)^{2016} = \sum_{r=0}^{2016} {^{2016}C_r} x^{2016-r} = T_0 + T_1 + T_2 + \dots + T_{2016}$।
$(x+i)^{2016}$ के विस्तार में $1$ के स्थान पर $i$ (काल्पनिक इकाई) का उपयोग करने पर:
$(x + i)^{2016} = \sum_{r=0}^{2016} {^{2016}C_r} x^{2016-r} i^r = (T_0 - T_2 + T_4 - \dots) + i(T_1 - T_3 + T_5 - \dots)$।
मान लीजिए $A = (T_0 - T_2 + T_4 - \dots)$ और $B = (T_1 - T_3 + T_5 - \dots)$।
अतः $A + iB = (x + i)^{2016}$।
दोनों पक्षों का मापांक का वर्ग (Modulus squared) लेने पर:
$|A + iB|^2 = |(x + i)^{2016}|^2$
$A^2 + B^2 = |x + i|^{2 	imes 2016}$
$A^2 + B^2 = (\sqrt{x^2 + 1^2})^{4032} = (x^2 + 1)^{2016}$।
इस प्रकार, $A^2 + B^2 = (x^2 + 1)^{2016}$।

यदि $r = 0, 1, 2, \dots, 2016$ के लिए $T_r = ^{2016}C_r x^{2016-r}$ है,तो $(T_0 - T_2 + T_4 - \dots + T_{2016})^2 + (T_1 - T_3 + T_5 - \dots - T_{2015})^2$ का मान क्या होगा?

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