गुणनफल $(1-x)(1-2x)(1-2^2x)(1-2^3x) \ldots (1-2^{15}x)$ में $x^{15}$ का गुणांक क्या है?

प्राकृत संख्याओं $m, n$ के लिए,यदि $(1-y)^{m}(1+y)^{n}=1+a_{1} y+a_{2} y^{2}+\ldots +a_{m+n} y^{m+n}$ और $a_{1}=a_{2}=10$ है,तो $(m+n)$ का मान किसके बराबर है?

मान लीजिए कि $\left(\sqrt{2^{\log_2(10-3^x)}} + \sqrt[5]{2^{(x-2)\log_2 3}}\right)^m$ के द्विपद विस्तार में,$2^{(x-2)\log_2 3}$ की बढ़ती घातों में छठा पद $21$ है। यदि विस्तार में दूसरे,तीसरे और चौथे पदों के द्विपद गुणांक क्रमशः एक $A.P.$ के पहले,तीसरे और पांचवें पद हैं,तो $x$ के सभी संभावित मानों के वर्गों का योग $.........$ है।

जब बहुपद $1+x^2+x^4+x^6+\ldots+x^{22}$ को $1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{11}$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल क्या होगा?

माना $(1 + x + x^2)^{20}(2x + 1) = a_0 + a_1x^1 + a_2x^2 + ... + a_{41}x^{41}$,तो $\frac{a_0}{1} + \frac{a_1}{2} + .... + \frac{a_{41}}{42}$ का मान ज्ञात कीजिए।

अऋण पूर्णांकों $s$ और $r$ के लिए,मान लीजिए $\binom{s}{r} = \begin{cases} \frac{s!}{r!(s-r)!} & \text{यदि } r \leq s \\ 0 & \text{यदि } r > s \end{cases}$. धनात्मक पूर्णांकों $m$ और $n$ के लिए,मान लीजिए $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}}$,जहाँ किसी भी अऋण पूर्णांक $p$ के लिए,$f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$. तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ $g(m, n) = g(n, m)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(B)$ $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2g(m, n)$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए
$(D)$ $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ सभी धनात्मक पूर्णांकों $m, n$ के लिए