यदि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ अशून्य और असमतलीय सदिश इस प्रकार हैं कि $(\vec{a} + \lambda \vec{b}) \cdot [(\vec{b} + 3\vec{c}) \times (\vec{c} - 4\vec{a})] = 0$,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k})+\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j})+\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i})+\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j})$ का मान . . . . . . है।

यदि $\alpha (a \times b) + \beta (b \times c) + \gamma (c \times a) = 0$ और $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ में से कम से कम एक संख्या शून्येतर है,तो सदिश $a, b$ और $c$ हैं

मान लीजिए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ एक $V$ आयतन वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) के तीन सह-आगामी किनारों को दर्शाते हैं। तो उस समांतर षट्फलक का आयतन,जिसके सह-आगामी किनारे $\vec{a}, \vec{b}+\vec{c}$ और $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}$ द्वारा दर्शाए गए हैं,$..........\,V$ के बराबर है।

मान लीजिए $\overrightarrow{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{B} = \hat{i}$,और $\overrightarrow{C} = C_1\hat{i} + C_2\hat{j} + C_3\hat{k}$ है। यदि $C_2 = -1$ और $C_3 = 1$ है,तो तीनों सदिशों को समतलीय बनाने के लिए:

एक समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी किनारे $\bar{u}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\bar{v}=\hat{i}+\hat{j}+3 \hat{k}$,और $\bar{w}=2 \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ हैं,$1$ घन इकाई है। यदि $\theta$,$\bar{u}$ और $\bar{w}$ के बीच का कोण है,तो $\cos \theta$ का मान है: