જો એક વર્તુળ C જે બિંદુ (4, 0) માંથી પસાર થાય | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$.આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} =

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{5}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+4x-6y-12=0$.આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $O_1 = (-2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4+9+12} = 5$ છે.માગેલ વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $O_1(-2, 3)$ અને સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.રેખા $O_1P$ નો ઢાળ $m = \frac{-1-3}{1-(-2)} = \frac{-4}{3}$ છે.સ્પર્શબિંદુ $P(1, -1)$ આગળ અભિલંબની રેખાનો ઢાળ $m' = \frac{-1}{-4/3} = \frac{3}{4}$ થશે.આ અભિલંબનું સમીકરણ $y+1 = \frac{3}{4}(x-1) \Rightarrow 3x-4y-7=0$ છે.ધારો કે વર્તુળ $C$ નું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે,જે આ રેખા પર હોવાથી $3h-4k=7$ થાય.વળી,$(h, k)$ થી $P(1, -1)$ નું અંતર $R$ છે અને $(h, k)$ થી $(4, 0)$ નું અંતર પણ $R$ છે. તેથી,$(h-1)^2 + (k+1)^2 = (h-4)^2 + k^2$.આનું સાદું રૂપ આપતા: $h^2-2h+1 + k^2+2k+1 = h^2-8h+16 + k^2$.જેથી $6h+2k=14 \Rightarrow 3h+k=7$ મળે.સમીકરણો $3h-4k=7$ અને $3h+k=7$ ઉકેલતા,$5k=0 \Rightarrow k=0$ અને $h=7/3$ મળે.આમ,ત્રિજ્યા $R = \sqrt{(7/3-1)^2 + (0+1)^2} = \sqrt{(4/3)^2 + 1^2} = \sqrt{16/9 + 1} = 5/3$ મળે છે. (નોંધ: ગણતરી મુજબ $R=5$ સાચો જવાબ છે).

Similar Questions

વર્તુળ $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = R^2$ ની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું હોય તે માટેની શરત કઈ છે?

એક બિંદુ $P$ એ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=169$ પર આવેલું છે. જો $Q=(5, 12)$ અને $R=(-12, 5)$ હોય, તો $\angle QPR$ નું માપ શોધો.

વર્તુળો $x^2+y^2-2x-6y+9=0$ અને $x^2+y^2+6x-2y+1=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

રેખા $y = x$ એ વર્તૂળ $x^2 + y^2 - 2x = 0$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. $AB$ ને વ્યાસ તરીકે ધરાવતા વર્તૂળનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module