यदि 3k त्रिज्या वाला एक वृत्त मूल बिंदु से हो | vedclass

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Question

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है। चूंकि यह मूल बिंदु से गुजरता है,इसलिए अचर पद $0$ है। वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2}

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$x^2 + y^2 = 4k^2$

Vedclass · Answer

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है। चूंकि यह मूल बिंदु से गुजरता है,इसलिए अचर पद $0$ है। वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2} = 3k$ दी गई है। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$g^2 + f^2 = 9k^2$ प्राप्त होता है। वृत्त $x$-अक्ष को $A$ पर और $y$-अक्ष को $B$ पर काटता है। वृत्त के समीकरण में $y=0$ रखने पर,$x^2 + 2gx = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = -2g$ मिलता है। अतः,$A = (-2g, 0)$ है। वृत्त के समीकरण में $x=0$ रखने पर,$y^2 + 2fy = 0$,जिससे $y = 0$ या $y = -2f$ मिलता है। अतः,$B = (0, -2f)$ है। $\Delta OAB$ का केंद्रक $(x, y)$ इस प्रकार है: $x = \frac{0 + (-2g) + 0}{3} = -\frac{2g}{3}$ और $y = \frac{0 + 0 + (-2f)}{3} = -\frac{2f}{3}$। इसलिए,$g = -\frac{3x}{2}$ और $f = -\frac{3y}{2}$ है। इन मानों को $g^2 + f^2 = 9k^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\left(-\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3y}{2}\right)^2 = 9k^2$ प्राप्त होता है। $\frac{9x^2}{4} + \frac{9y^2}{4} = 9k^2$। $9$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = k^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 4k^2$ हो जाता है।

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