यदि बिंदु $(1, 4)$ वृत्त $x^2 + y^2 - 6x - 10y + p = 0$ के अंदर स्थित है और वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करता है,तो $p$ के सभी संभावित मानों का समुच्चय कौन सा अंतराल है?

माना वृत्त $C$,रेखा $2x-3y+5=0$ में $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ का प्रतिबिंब है। माना $A$,$C$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $OA$,$x$-अक्ष के समांतर है और $A$,$C$ के केंद्र $O$ के दाईं ओर स्थित है। यदि $B(\alpha, \beta)$,जहाँ $\beta < 4$,$C$ पर इस प्रकार स्थित है कि चाप $AB$ की लंबाई $C$ की परिधि का $(1/6)$ भाग है,तो $\beta - \sqrt{3}\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\theta$ वृत्त $x^2+y^2=16$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा द्वारा धनात्मक $X$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है,तो $\cos 2 \theta=$

यदि रेखाएँ $kx + 2y - 4 = 0$ और $5x - 2y - 4 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

वक्रों $C_1: y^2=4x$ और $C_2: x^2+y^2-6x+1=0$ पर विचार करें। कथन $(A)$: वक्रों $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं। कारण $(R)$: $x-y+1=0$ और $x+y+1=0$ वक्रों $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।

$y^2 = 16x$ की नाभि जीवा $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,तो इस जीवा के ढाल के संभावित मान क्या हैं?