यदि अतिपरवलय xy = -1 की एक स्पर्श रेखा परवलय | vedclass

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Question

(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है,जहाँ $a = 2$ है। अतः,$y = mx + \frac{2}{m}$।यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की

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$x - y + 2 = 0$

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(C) माना परवलय $y^2 = 8x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है,जहाँ $a = 2$ है। अतः,$y = mx + \frac{2}{m}$।यह रेखा अतिपरवलय $xy = -1$ की भी स्पर्श रेखा है,जिसे $y = -\frac{1}{x}$ के रूप में लिखा जा सकता है।$y = mx + \frac{2}{m}$ को $xy = -1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x(mx + \frac{2}{m}) = -1$ प्राप्त होता है,जो $mx^2 + \frac{2}{m}x + 1 = 0$ में सरल हो जाता है।चूंकि रेखा स्पर्श रेखा है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर (discriminant) शून्य होना चाहिए।$D = (\frac{2}{m})^2 - 4(m)(1) = 0$.$\frac{4}{m^2} - 4m = 0 \implies 4 = 4m^3 \implies m^3 = 1 \implies m = 1$.$m = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ में रखने पर,हमें $y = x + 2$ या $x - y + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

यदि अतिपरवलय $xy = -1$ की एक स्पर्श रेखा परवलय $y^2 = 8x$ की भी स्पर्श रेखा है,तो उस स्पर्श रेखा का समीकरण है

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