वृत्त $x^2 + y^2 - 8x = 0$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ बिंदु $A$ और $B$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। वृत्त और अतिपरवलय की धनात्मक ढाल वाली उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय $xy = c^2$ के केंद्र से एक चर स्पर्श रेखा पर खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ है:

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केन्द्रता,अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम है। यदि दीर्घवृत्त अतिपरवलय को समकोण पर काटता है,तो दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का वर्ग $................$ है।

बिंदु $P\ (3, 4)$ से दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं,जो दीर्घवृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श करती हैं। $A$ और $B$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

$(10, -1)$ से गुजरने वाली और $y = \frac{x^2}{4} - 2$ के लंबवत रेखा का समीकरण है

वक्रों $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से होकर नहीं गुजरती है। यदि $T$,$C_{1}$ को $(x_{1}, y_{1})$ पर और $C_{2}$ को $(x_{2}, y_{2})$ पर स्पर्श करती है,तो $|2x_{1} + x_{2}|$ का मान $......$ है।