જો એક ચલ વર્તુળ S=0 એ રેખા y=x ને સ્પર્શે છે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા ચલ વર્તુળ $S=0$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.વર્તુળ રેખા $x-y=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, -f

Vedclass · Accepted Answer

$\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા ચલ વર્તુળ $S=0$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy=0$ છે.વર્તુળ રેખા $x-y=0$ ને સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2+f^2}$ જેટલું થાય.$\frac{|-g+f|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \sqrt{g^2+f^2} \Rightarrow \frac{(g-f)^2}{2} = g^2+f^2$.$g^2+f^2-2gf = 2g^2+2f^2$ $\Rightarrow g^2+f^2+2gf = 0$ $\Rightarrow (g+f)^2 = 0$ $\Rightarrow f = -g$.$f = -g$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા,$S = x^2+y^2+2gx-2gy = 0$ મળે.$S=0$ અને $x^2+y^2+6x+8y-7=0$ ની સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.$(x^2+y^2+2gx-2gy) - (x^2+y^2+6x+8y-7) = 0$.$(2g-6)x - (2g+8)y + 7 = 0$.$2g(x-y) - (6x+8y-7) = 0$.આ રેખાઓની સંહતિ દર્શાવે છે જે $x-y=0$ અને $6x+8y-7=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.આ સમીકરણો ઉકેલતા: $x=y$,તેથી $6x+8x-7=0$ $\Rightarrow 14x=7$ $\Rightarrow x=\frac{1}{2}$.આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ છે.

Similar Questions

વર્તુળ $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ ના સંદર્ભમાં બિંદુ $(2,1)$ માટે સ્પર્શકની જીવાની લંબાઈ શોધો.

$(x+11)^2+(y-2)^2=225$ અને $(x-11)^2+(y+2)^2=25$ વર્તુળોને દોરેલા સામાન્ય સ્પર્શકોનું છેદબિંદુ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module