यदि एक $A.P.$ के सभी पदों का वर्ग किया जाए,तो नई श्रेणी किसमें होगी?

मान लीजिए $S$ श्रेणी के पहले $9$ पदों का योग है: $(x+ka) + (x^2+(k+2)a) + (x^3+(k+4)a) + (x^4+(k+6)a) + \ldots$ जहाँ $a \neq 0$ और $x \neq 1$ है। यदि $S = \frac{x^{10}-x+45a(x-1)}{x-1}$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $a, b$ और $c$ एक $G.P.$ में हैं जिनका सार्व अनुपात $r$ है,जहाँ $a \ne 0$ और $0 < r \le \frac{1}{2}$ है। यदि $3a, 7b$ और $15c$ एक $A.P.$ के प्रथम तीन पद हैं,तो इस $A.P.$ का चौथा पद क्या होगा?

एक $A$.$P$. के प्रथम दस पदों का योग $160$ है और एक $G$.$P$. के प्रथम दो पदों का योग $8$ है। यदि $A$.$P$. का प्रथम पद $G$.$P$. के सार्व अनुपात के बराबर है और $G$.$P$. का प्रथम पद $A$.$P$. के सार्व अंतर के बराबर है, तो $G$.$P$. के प्रथम पद के सभी संभावित मानों का योग क्या है?

यदि $\left(1+\frac{2}{3}+\frac{6}{3^{2}}+\frac{10}{3^{3}}+\ldots \text{ अनंत तक }\right)^{\log_{(0.25)}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+\ldots \text{ अनंत तक }\right)}$ का मान $l$ है,तो $l^{2}$ का मान $......$ है।

तीन असमान धनात्मक संख्याएँ $a, b, c$ इस प्रकार हैं कि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं जबकि $\log \left(\frac{5 c}{2 a}\right), \log \left(\frac{7 b}{5 c}\right), \log \left(\frac{2 a}{7 b}\right)$ $A.P.$ में हैं। तो $a, b, c$ किस प्रकार के त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं?