यदि $x-2$ और $x-\frac{1}{2}$ दोनों $p x^{2}+5 x+r$ के गुणनखंड हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $p=r$ है।

(A) माना $f(x) = p x^{2} + 5 x + r$.
चूँकि $(x-2)$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$f(2) = 0$.
$p(2)^{2} + 5(2) + r = 0$
$4p + 10 + r = 0$
$4p + r = -10$ --- $(1)$
चूँकि $(x - \frac{1}{2})$,$f(x)$ का एक गुणनखंड है,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$f(\frac{1}{2}) = 0$.
$p(\frac{1}{2})^{2} + 5(\frac{1}{2}) + r = 0$
$\frac{1}{4}p + \frac{5}{2} + r = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$p + 10 + 4r = 0$
$p + 4r = -10$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर,चूँकि दोनों $-10$ के बराबर हैं:
$4p + r = p + 4r$
$4p - p = 4r - r$
$3p = 3r$
$p = r$
अतः,यह सिद्ध हुआ।