यदि आव्यूह D_1 = operatorname{diag}(a, b, c), | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 	imes 3$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसके विकर्ण अवयव शून्य हैं,अर्थात $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.मान ल

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$2a + 2b + 2c - 9$

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(A) दिया गया है कि $A$ एक $3 	imes 3$ क्रम का विषम-सममित आव्यूह है,इसलिए इसके विकर्ण अवयव शून्य हैं,अर्थात $\operatorname{diag}(A) = (0, 0, 0)$.मान लीजिए $D_1 = \operatorname{diag}(a, b, c)$ और $D_2 = \operatorname{diag}(3, 3, 3) = 3I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।आव्यूह का ट्रेस (Trace) उसके विकर्ण अवयवों का योग होता है।किसी भी विषम-सममित आव्यूह $A$ के लिए,एक विकर्ण आव्यूह $D$ और $A$ का गुणनफल $(DA)$ एक ऐसा आव्यूह देता है जिसके विकर्ण अवयव $d_{ii} 	imes a_{ii}$ होते हैं। चूँकि $a_{ii} = 0$,इसलिए $DA$ के विकर्ण अवयव $0$ होते हैं।अतः,$\operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,$\operatorname{diag}(D_1 A) = (0, 0, 0)$,और $\operatorname{diag}(D_2 A) = (0, 0, 0)$।अब,ट्रेस के अंदर के व्यंजक पर विचार करें: $M = D_1 D_2 A + D_1 D_2 + D_1 A + D_2 A$।$M$ के विकर्ण अवयव $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) + \operatorname{diag}(D_1 A) + \operatorname{diag}(D_2 A) + \operatorname{diag}(D_1 D_2 A)$ हैं।चूँकि $\operatorname{diag}(D_1 A) = \operatorname{diag}(D_2 A) = \operatorname{diag}(D_1 D_2 A) = (0, 0, 0)$,इसलिए $\operatorname{diag}(M) = \operatorname{diag}(D_1 D_2) = (3a, 3b, 3c)$।अतः,$\operatorname{Tr}(M) = 3a + 3b + 3c$।हमें $\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2)$ की गणना करनी है।$\operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (a+3) + (b+3) + (c+3) = a + b + c + 9$।अंत में,$\operatorname{Tr}(M) - \operatorname{Tr}(D_1 + D_2) = (3a + 3b + 3c) - (a + b + c + 9) = 2a + 2b + 2c - 9$।

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