यदि समतल $\vec{r} \cdot (p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + 3 = 0$ और $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}) - 5 = 0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{3}$ है,तो $p$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A(3, 4, -5)$ और $B(-2, 1, 4)$ बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक समतल $P$ बिंदुओं $\hat{i}, \hat{j}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ से होकर गुजरता है। मान लीजिए $L$ बिंदु $A(3, 0, -5)$ से गुजरने वाली और सदिश $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ के समानांतर एक रेखा है। तो बिंदु $A$ से गुजरने वाले समतल $P$ के अभिलंब का समीकरण क्या है?

मान लीजिए $\pi_1$ वह समतल है जो बिंदु $2\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ से गुजरता है और सदिश $a\hat{i}+2\hat{j}-3\hat{k}$ के लंबवत है, और $\pi_2$ वह समतल है जो बिंदु $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ से गुजरता है और सदिश $\hat{i}-2\hat{j}+\hat{k}$ के लंबवत है। यदि $\theta$ समतलों $\pi_1$ और $\pi_2$ के बीच का कोण है और $\cos \theta = -\sqrt{\frac{3}{7}}$ है, तो $a$ का पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

एक समतल $P$ दो रेखाओं के समांतर है जिनके दिक्-अनुपात $-2, 1, -3$ और $-1, 2, -2$ हैं और यह बिंदु $(2, 2, -2)$ से होकर गुजरता है। मान लीजिए कि $P$ निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A, B, C$ पर प्रतिच्छेद करता है जो अंतःखंड $\alpha, \beta, \gamma$ बनाते हैं। यदि $V$ चतुष्फलक $OABC$ का आयतन है,जहाँ $O$ मूलबिंदु है और $p = \alpha + \beta + \gamma$ है,तो क्रमित युग्म $(V, p)$ बराबर है।

यदि $(2, -3, 6)$ मूल बिंदु से एक समतल पर खींचे गए लंब का पाद है,तो उस समतल का समीकरण क्या है?