જો સમતલો vec{r} cdot (p hat{i} - hat{j} + 2 h | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}$ છે.આપેલ છે કે સમતલો વચ્ચેનો ખ

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(D) સમતલોના અભિલંબ સદિશો $\vec{n}_1 = p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ અને $\vec{n}_2 = 2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}$ છે.આપેલ છે કે સમતલો વચ્ચેનો ખૂણો $	heta = \frac{\pi}{3}$ છે,તેથી તેમના અભિલંબ વચ્ચેના ખૂણાનો કોસાઇન $\cos 	heta = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{|\vec{n}_1| |\vec{n}_2|}$ દ્વારા મળે છે.$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (p)(2) + (-1)(-p) + (2)(-1) = 2p + p - 2 = 3p - 2$.$|\vec{n}_1| = \sqrt{p^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.$|\vec{n}_2| = \sqrt{2^2 + (-p)^2 + (-1)^2} = \sqrt{p^2 + 5}$.આમ,$\cos \left( \frac{\pi}{3} ight) = \frac{|3p - 2|}{\sqrt{p^2 + 5} \sqrt{p^2 + 5}}$.$\frac{1}{2} = \frac{|3p - 2|}{p^2 + 5}$.કિસ્સો $1$: $3p - 2 = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies 6p - 4 = p^2 + 5 \implies p^2 - 6p + 9 = 0 \implies (p - 3)^2 = 0 \implies p = 3$.કિસ્સો $2$: $-(3p - 2) = \frac{1}{2}(p^2 + 5) \implies -6p + 4 = p^2 + 5 \implies p^2 + 6p + 1 = 0 \implies p = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{2}$.આપેલ વિકલ્પોમાં માત્ર $3$ હોવાથી,$p$ ની કિંમત $3$ છે.

જો સમતલો $\vec{r} \cdot (p \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}) + 3 = 0$ અને $\vec{r} \cdot (2 \hat{i} - p \hat{j} - \hat{k}) - 5 = 0$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $p$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

બે રેખાઓ $AB$ અને $AC$ ના દિકગુણોત્તરો $1, -1, -1$ અને $2, -1, 1$ છે. સમતલ $ABC$ ના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો શોધો.

રેખા $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z}{3}$ ને લંબ અને બિંદુ $(2, 3, 4)$ માંથી પસાર થતા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module