यदि r इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में आयत अंतर्न | vedclass

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Question

(D) माना $ABCD$ एक वृत्त में अंतर्निहित आयत है जिसकी त्रिज्या $r$ है।चूंकि आयत वृत्त के अंदर है,इसका विकर्ण वृत्त का व्यास है।$\Rightarrow AC = BD = 2

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$\sqrt{2} r$ इकाई,$\sqrt{2} r$ इकाई

Vedclass · Answer

(D) माना $ABCD$ एक वृत्त में अंतर्निहित आयत है जिसकी त्रिज्या $r$ है।चूंकि आयत वृत्त के अंदर है,इसका विकर्ण वृत्त का व्यास है।$\Rightarrow AC = BD = 2r = 	ext{व्यास}$.माना $x$ और $y$ आयत की लंबाई और चौड़ाई हैं।पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$x^{2} + y^{2} = (2r)^{2} = 4r^{2}$.$\Rightarrow y = \sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.अब,आयत का क्षेत्रफल $A = xy = x\sqrt{4r^{2} - x^{2}}$.अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,$A$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करें:$\frac{dA}{dx} = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} \cdot (-2x) = \sqrt{4r^{2} - x^{2}} - \frac{x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}} = \frac{4r^{2} - 2x^{2}}{\sqrt{4r^{2} - x^{2}}}$.अधिकतम क्षेत्रफल के लिए,$\frac{dA}{dx} = 0$ रखें:$4r^{2} - 2x^{2} = 0 \Rightarrow x^{2} = 2r^{2} \Rightarrow x = \sqrt{2}r$.$y$ के व्यंजक में $x = \sqrt{2}r$ रखने पर:$y = \sqrt{4r^{2} - (\sqrt{2}r)^{2}} = \sqrt{4r^{2} - 2r^{2}} = \sqrt{2r^{2}} = \sqrt{2}r$.अतः,आयत के आयाम $\sqrt{2}r$ इकाई और $\sqrt{2}r$ इकाई हैं।

यदि $r$ इकाई त्रिज्या वाले वृत्त में आयत अंतर्निहित हैं,तो अधिकतम क्षेत्रफल वाले आयत के आयाम क्या हैं?

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