यदि एक अचर न होने वाली A.P. के 2^{nd}, 5^{th} | vedclass

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Question

(D) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।$2^{nd}$ पद $a + d$ है।$5^{th}$ पद $a + 4d$ है।$9^{th}$ पद $a + 8d$ है।चूंकि ये पद $G.P.$ में हैं

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$\frac{4}{3}$

Vedclass · Answer

(D) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।$2^{nd}$ पद $a + d$ है।$5^{th}$ पद $a + 4d$ है।$9^{th}$ पद $a + 8d$ है।चूंकि ये पद $G.P.$ में हैं, माना सार्व अनुपात $r$ है।अतः, $(a + 4d) = (a + d)r$ और $(a + 8d) = (a + d)r^2$.पहले समीकरण से, $a + 4d = ar + dr \implies a(1-r) = d(r-4) \implies a = \frac{d(r-4)}{1-r}$.इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $\frac{d(r-4)}{1-r} + 8d = r^2 \left( \frac{d(r-4)}{1-r} + d ight)$.$d$ से भाग देने पर (चूंकि अचर न होने वाली $A.P.$ के लिए $d 
eq 0$):$\frac{r-4 + 8 - 8r}{1-r} = r^2 \left( \frac{r-4 + 1-r}{1-r} ight)$.$\frac{4-7r}{1-r} = r^2 \left( \frac{-3}{1-r} ight)$.$4 - 7r = -3r^2 \implies 3r^2 - 7r + 4 = 0$.$(3r - 4)(r - 1) = 0$.चूंकि $A.P.$ अचर नहीं है, $d 
eq 0$, जिसका अर्थ है कि $r 
eq 1$.इसलिए, $r = \frac{4}{3}$.

यदि एक अचर न होने वाली $A.P.$ के $2^{nd}, 5^{th}, \text{और } 9^{th}$ पद $G.P.$ में हैं, तो इस $G.P.$ का सार्व अनुपात क्या है:

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मान लीजिए ${S_n} = \frac{1}{{{1^3}}} + \frac{{1 + 2}}{{{1^3} + {2^3}}} + \frac{{1 + 2 + 3}}{{{1^3} + {2^3} + {3^3}}} + \dots + \frac{{1 + 2 + \dots + n}}{{{1^3} + {2^3} + \dots + {n^3}}}$. यदि $100 S_n = n$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

श्रेणी का $n^{th}$ पद ज्ञात कीजिए:
$\frac{1}{n} + \frac{n+1}{n} + \frac{2n+1}{n} + \ldots$

अनुक्रम $0.7, 0.77, 0.777, \dots$ के प्रथम $20$ पदों का योगफल है

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