यदि अतिपरवलय x^2-k y^2=3 के अनंतस्पर्शी के बी | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2-k y^2=3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3/k}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=3$ और $b^2=\frac{3}{k}$ है। अनंतस

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$\left(k,-\frac{\sqrt{3} e}{2}\right)$

Vedclass · Answer

(D) अतिपरवलय का समीकरण $x^2-k y^2=3$ है,जिसे $\frac{x^2}{3}-\frac{y^2}{3/k}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=3$ और $b^2=\frac{3}{k}$ है। अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $2	an^{-1}\left(\frac{b}{a}ight) = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $	an^{-1}\left(\frac{b}{a}ight) = \frac{\pi}{6}$। अतः,$\frac{b}{a} = 	an\left(\frac{\pi}{6}ight) = \frac{1}{\sqrt{3}}$। वर्ग करने पर $\frac{b^2}{a^2} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{3/k}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow \frac{1}{k} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow k=3$। अतिपरवलय $\frac{x^2}{3}-y^2=1$ है। उत्केंद्रता $e = \sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+\frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$। रेखा $lx+my+n=0$ का $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ के सापेक्ष ध्रुव $\left(-\frac{a^2l}{n}, \frac{b^2m}{n}ight)$ होता है। $x+y-1=0$ के लिए,$l=1, m=1, n=-1$। ध्रुव $\left(-\frac{3(1)}{-1}, \frac{1(1)}{-1}ight) = (3, -1)$ है। चूँकि $k=3$ और $e=\frac{2}{\sqrt{3}}$ है,इसलिए $-1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} 	imes \frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}e}{2}$। अतः,ध्रुव $\left(k, -\frac{\sqrt{3}e}{2}ight)$ है।

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