यदि वृत्तों x^2+y^2-2x-4y+c=0 और x^2+y^2-4x-2 | vedclass

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Question

(D) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $C_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ हैं। $C_1$ के लिए,केंद्र $O_1(1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5-c}$ है। $C_2$ के

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$\frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$

Vedclass · Answer

(D) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $C_2: x^2+y^2-4x-2y+4=0$ हैं। $C_1$ के लिए,केंद्र $O_1(1, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{5-c}$ है। $C_2$ के लिए,केंद्र $O_2(2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = 1$ है। केंद्रों के बीच की दूरी $d^2 = (2-1)^2 + (1-2)^2 = 2$ है। दो वृत्तों के बीच का कोण $\cos 	heta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है। $	heta = 60^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$। मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{(5-c) + 1 - 2}{2 \sqrt{5-c}} = \frac{4-c}{2 \sqrt{5-c}}$। अतः,$\sqrt{5-c} = 4-c$। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $5-c = 16 - 8c + c^2$,अर्थात $c^2 - 7c + 11 = 0$। द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$c = \frac{7 \pm \sqrt{49-44}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{5}}{2}$।

यदि वृत्तों $x^2+y^2-2x-4y+c=0$ और $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए।

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