જો બે સદિશો $\vec{u} = (a, 2)$ અને $\vec{v} = (a, -2)$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય,તો $a$ ની કિંમત શોધો.

જો ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ અનુક્રમે $(1,2,3), (-1,0,0), (0,1,2)$ હોય,તો $\angle ABC$ શોધો. $[\angle ABC \text{ એ સદિશો } \overrightarrow{BA} \text{ અને } \overrightarrow{BC} \text{ વચ્ચેનો ખૂણો છે}]$.

ધારો કે $\vec{\alpha}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\vec{\beta}=\hat{i}-\hat{j}-\hat{k}$ અને $\vec{\gamma}=-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ ત્રણ સદિશો છે. $\vec{\alpha}$ અને $\vec{\beta}$ ના સમતલમાં રહેલ એક સદિશ $\vec{\delta}$, જેનો $\vec{\gamma}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય, તે શોધો.

ધારો કે $\overline{a}=3 \hat{i}-\alpha \hat{j}+\hat{k}$ અને $\overline{b}=\hat{i}+\alpha \hat{j}+3 \hat{k}$ છે. જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ,જેની પાસપાસેની બાજુઓ સદિશો $\overline{a}$ અને $\overline{b}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે $8 \sqrt{3}$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\overline{a} \cdot \overline{b}$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બે સદિશો એવા હોય કે જેથી $|\vec{a}|=2$,$|\vec{b}|=3$ અને $\vec{a}+t \vec{b}$ તથા $\vec{a}-t \vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,જ્યાં $t$ એ ધન અદિશ છે,તો

ત્રણ સદિશો $\vec{a}, \vec{b}$ અને $\vec{c}$ એ $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ નું પાલન કરે છે. જો $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ હોય, તો $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+2(|\vec{a}|+|\vec{b}|+|\vec{c}|)=$