यदि वृत्तों $C_1: x^2+y^2+2x+4y-20=0$ और $C_2: x^2+y^2+6x-8y+9=0$ के $n$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं और समानता के केंद्र से वृत्त $C_2$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $l$ है,तो $\frac{l}{n^2} =$

माना $C_1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाला $1$ त्रिज्या का वृत्त है। माना $C_2$ बिंदु $A=(4,1)$ पर केंद्र वाला $r$ त्रिज्या का वृत्त है,जहाँ $1 < r < 3$ है। $C_1$ और $C_2$ की दो अलग-अलग उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $PQ$ और $ST$ खींची गई हैं। स्पर्श रेखा $PQ$,$C_1$ को $P$ पर और $C_2$ को $Q$ पर स्पर्श करती है। स्पर्श रेखा $ST$,$C_1$ को $S$ पर और $C_2$ को $T$ पर स्पर्श करती है। रेखाखंड $PQ$ और $ST$ के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष को बिंदु $B$ पर मिलती है। यदि $AB=\sqrt{5}$ है,तो $r^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$P$ वृत्तों $S \equiv x^2+y^2-6x+2ky+1=0$ और $S' \equiv x^2+y^2+2kx-6y-7=0$ का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है। यदि $S=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $S'=0$ के केंद्र से होकर गुजरती है और $S'=0$ पर $P$ पर स्पर्शरेखा $S=0$ के केंद्र से होकर गुजरती है,तो $S'=0$ की त्रिज्या है

यदि बिंदु $P$ से वृत्तों $x^2+y^2-8x+40=0$,$5x^2+5y^2-25x+80=0$ और $x^2+y^2-8x+16y+160=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई समान है,तो बिंदु $P$ क्या है?

$x^2 + y^2 - 2 x + 6 y = 0$,$x^2 + y^2 - 4 x - 2 y + 6 = 0$ और $x^2 + y^2 - 12 x + 2 y + 3 = 0$ वृत्तों को लंबकोणीय रूप से काटने वाले वृत्त पर बिंदु $(0, 3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण क्या है?

यदि $P$ और $Q$ वृत्त $x^2 + y^2 + 3x + 7y + 2p - 5 = 0$ और $x^2 + y^2 + 2x + 2y - p^2 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं,तो $p$ के किस मान के लिए एक वृत्त $P, Q$ और $(1, 1)$ से होकर गुजरता है?