माना C_1 मूल बिंदु पर केंद्र वाला 1 त्रिज्या | vedclass

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Question

(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=1$ है और $C_2$ का $(x-4)^2+(y-1)^2=r^2$ है।दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।$

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$2$

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(A) वृत्त $C_1$ का समीकरण $x^2+y^2=1$ है और $C_2$ का $(x-4)^2+(y-1)^2=r^2$ है।दो वृत्तों की मूलाक्ष (radical axis) $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।$x^2+y^2-1 - ((x-4)^2+(y-1)^2-r^2) = 0$$x^2+y^2-1 - (x^2-8x+16+y^2-2y+1-r^2) = 0$$8x+2y-18+r^2 = 0$,जिसे सरल करने पर $8x+2y = 18-r^2$ प्राप्त होता है।उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा ही दोनों वृत्तों की मूलाक्ष होती है।यह रेखा $x$-अक्ष को $B$ पर मिलती है। मूलाक्ष के समीकरण में $y=0$ रखने पर,हमें $8x = 18-r^2$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{18-r^2}{8}$।अतः,$B = \left(\frac{18-r^2}{8}, 0\right)$ है।दिया है $A=(4,1)$ और $AB=\sqrt{5}$,इसलिए $AB^2 = 5$ है।$\left(\frac{18-r^2}{8}-4\right)^2 + (0-1)^2 = 5$$\left(\frac{18-r^2-32}{8}\right)^2 + 1 = 5$$\left(\frac{-(14+r^2)}{8}\right)^2 = 4$$\frac{14+r^2}{8} = 2$ (चूंकि $r^2 > 0$,इसलिए वर्गमूल $2$ प्राप्त करने के लिए कोष्ठक के अंदर का मान धनात्मक होना चाहिए)$14+r^2 = 16$,जिससे $r^2 = 2$ प्राप्त होता है।

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