यदि वक्र $y^2=6x$ और $9x^2+by^2=16$ एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि परवलय $y^2=12x$ के बिंदु $(3, \alpha)$ पर स्पर्शरेखा,रेखा $2x+2y=3$ के लंबवत है। तो बिंदु $(6, -4)$ की अतिपरवलय $\alpha^2x^2-9y^2=9\alpha^2$ के बिंदु $(\alpha-1, \alpha+2)$ पर अभिलंब से दूरी का वर्ग $........$ के बराबर है।

मान लीजिए कि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की उत्केन्द्रता,अतिपरवलय $2x^2 - 2y^2 = 1$ की उत्केन्द्रता की व्युत्क्रम है। यदि दीर्घवृत्त अतिपरवलय को समकोण पर काटता है,तो दीर्घवृत्त के नाभिलंब की लंबाई का वर्ग $................$ है।

एक वृत्त का केंद्र एक दीर्घवृत्त के केंद्र के समान है और यह दीर्घवृत्त की नाभियों $F_1$ और $F_2$ से होकर गुजरता है,जिससे दोनों वक्र $4$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। मान लीजिए $P$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से कोई एक है। यदि दीर्घवृत्त की मुख्य अक्ष की लंबाई $17$ है और त्रिभुज $PF_1F_2$ का क्षेत्रफल $30$ है,तो नाभियों के बीच की दूरी क्या है?

मान लीजिए $A, B, C$ और $D$ वक्रों $\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1$ और $x^2-y^2=5$ के क्रमशः $I, II, III$ और $IV$ चतुर्थांशों में चार प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। यदि $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ और $\theta_4$ क्रमशः $A, B, C$ और $D$ पर वक्रों के बीच के कोण हैं, तो

निम्नलिखित में से कौन सा दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2 + b^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2 + b^2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है?