यदि वक्र x^2+p y^2=1 और q x^2+y^2=1 एक-दूसरे | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र $x^2+p y^2=1$ $(i)$ और $q x^2+y^2=1$ (ii) हैं। $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0$, जिससे $m_1 = \frac

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$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=2$

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(D) दिए गए वक्र $x^2+p y^2=1$ $(i)$ और $q x^2+y^2=1$ (ii) हैं। $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2x + 2py \frac{dy}{dx} = 0$, जिससे $m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{py}$ प्राप्त होता है। (ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $2qx + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, जिससे $m_2 = \frac{dy}{dx} = -\frac{qx}{y}$ प्राप्त होता है। चूंकि वक्र लंबकोणीय हैं, $m_1 \cdot m_2 = -1$। ढाल के मान रखने पर: $(-\frac{x}{py}) \cdot (-\frac{qx}{y}) = -1 \Rightarrow \frac{qx^2}{py^2} = -1 \Rightarrow qx^2 = -py^2$। $(i)$ से, $x^2 = 1 - py^2$। इस मान को लंबकोणीयता की शर्त में रखने पर: $q(1 - py^2) = -py^2 \Rightarrow q - qpy^2 = -py^2 \Rightarrow q = y^2(qp - p) \Rightarrow y^2 = \frac{q}{p(q-1)}$। इसी प्रकार, $x^2 = \frac{p(1-q)}{q-p}$। $x^2$ और $y^2$ के मानों को $q x^2 + y^2 = 1$ में रखने पर: $q(\frac{p-pq}{q-p}) + \frac{q}{pq-p} = 1$। इसे हल करने पर $p+q = 2pq$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 2$।

यदि वक्र $x^2+p y^2=1$ और $q x^2+y^2=1$ एक-दूसरे के लंबकोणीय (orthogonal) हैं, तो

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