જો વિધેય $f(x) = \begin{cases} ax^2 + b & \text{જો } x < -1 \\ bx^2 + ax + 4 & \text{જો } x \geq -1 \end{cases}$ નું વિકલિત દરેક જગ્યાએ સતત હોય, તો:

જો $f(x) = \begin{cases} kx + 1, & x \leq \frac{\pi}{2} \\ \sin x, & x > \frac{\pi}{2} \end{cases}$ એ $x = \frac{\pi}{2}$ આગળ સતત હોય,તો $k = $ . . . . . . .

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ $f(x) = \begin{cases} x \sin \left(\frac{1}{x}\right), & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}$ અને $g(x) = x f(x)$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો: $(i)$ $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત છે પરંતુ $x = 0$ આગળ વિકલનીય નથી. $(ii)$ $g(x)$ એ $x = 0$ આગળ વિકલનીય છે, પરંતુ $g'(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત નથી. તો, નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે $f: R \rightarrow R$ એ વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(3)=3$ અને $f^{\prime}(3)=\frac{1}{27}$. જો $g(x)=\begin{cases} \int_3^{f(x)} \frac{3t^2}{x-3} dt & \text{જો } x \neq 3 \\ K & \text{જો } x=3 \end{cases}$ એ $x=3$ આગળ સતત હોય,તો $K=$

જો $x \neq 0$ માટે $f(x) = \frac{3^{x+3} - 3^{-x} - 2}{\tan x \cdot \log(1+x)}$ હોય, અને તે $x = 0$ પર સતત હોય, તો $f(0)$ ની કિંમત ... ની બરાબર છે.

$f(x) = |x|$ દ્વારા આપવામાં આવેલ વિધેય $f$ ની $x = 0$ આગળ સાતત્યતાની ચર્ચા કરો.