यदि एक दीर्घवृत्त (ellipse) की नाभियों के बीच | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी नाभिलंब की लंबाई के बराबर है।नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{

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$\frac{1}{2}(\sqrt{5}-1)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि दीर्घवृत्त की नाभियों के बीच की दूरी नाभिलंब की लंबाई के बराबर है।नाभियों के बीच की दूरी $2ae$ है और नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a}$ है।अतः, $2ae = \frac{2b^2}{a} \implies ae = \frac{b^2}{a} \implies b^2 = a^2e$.हम जानते हैं कि दीर्घवृत्त के लिए, $b^2 = a^2(1 - e^2)$.इस समीकरण में $b^2 = a^2e$ रखने पर, हमें $a^2e = a^2(1 - e^2)$ प्राप्त होता है।$a^2$ से भाग देने पर, $e = 1 - e^2$ मिलता है।इससे द्विघात समीकरण $e^2 + e - 1 = 0$ प्राप्त होता है।द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, $e = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.चूंकि उत्केंद्रता $e$ धनात्मक होनी चाहिए $(0 < e < 1)$, इसलिए $e = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$।

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