જો સમતલો $2x - y + z = 3$ અને $4x - 3y + 5z + 9 = 0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતું અને રેખા $\frac{x + 1}{-2} = \frac{y + 3}{4} = \frac{z - 2}{5}$ ને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ $ax + by + cz + 6 = 0$ હોય,તો $a + b + c$ ની કિંમત $.............$ થાય.

જો સમતલ $x-y+z+4=0$ એ બિંદુઓ $P(2,3,-1)$ અને $Q(1,4,-2)$ ને જોડતી રેખાને $l:m$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું હોય,તો $l+m$ ની કિંમત શોધો.

પ્રથમ અષ્ટમાંશ $(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ માં સ્થિત પિરામિડ $OPQRS$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે,અને $OP$ તથા $OR$ અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પર છે. પિરામિડનો પાયો $OPQR$ એ $OP=3$ ધરાવતો ચોરસ છે. બિંદુ $S$ એ વિકર્ણ $OQ$ ના મધ્યબિંદુ $T$ ની બરાબર ઉપર છે,જેથી $TS=3$ થાય. તો:

એક રેખા $l$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ $l_1 = (3 + t)\hat{i} + (-1 + 2t)\hat{j} + (4 + 2t)\hat{k}$ અને $l_2 = (3 + 2s)\hat{i} + (3 + 2s)\hat{j} + (2 + s)\hat{k}$ ને લંબ છે.
વિધાન $1$: રેખા $l$ અને $l_2$ સમતલીય રેખાઓ છે.
વિધાન $2$: રેખા $l$ અને $l_2$ છેદતી રેખાઓ છે.

બિંદુ $A(1, 2, 3)$ માંથી પસાર થતું પ્રકાશનું કિરણ સમતલ $x+y+z=12$ ને $B$ આગળ અથડાય છે અને પરાવર્તન પામીને $C(3, 5, 9)$ માંથી પસાર થાય છે,તો $OB$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $L$ એ $\hat{i}-9 \hat{k}$ અને $7 \hat{j}+\hat{k}$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા છે અને $\pi$ એ $6 \hat{i}+\hat{j}$ બિંદુમાંથી પસાર થતું અને $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ સદિશને લંબ સમતલ છે. જો $\theta$ એ $L$ અને $\pi$ વચ્ચેનો ખૂણો હોય,તો $\sin \theta=$