यदि बिंदु (2,-3,4) से गुजरने वाले और दोनों सम | vedclass

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Question

(A) बिंदु $(2,-3,4)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-2) + b(y+3) + c(z-4) = 0$ है, जिसे $ax + by + cz - 2

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$\frac{5}{11}$

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(A) बिंदु $(2,-3,4)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = (a, b, c)$ वाले समतल का समीकरण $a(x-2) + b(y+3) + c(z-4) = 0$ है, जिसे $ax + by + cz - 2a + 3b - 4c = 0$ ... $(i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।चूंकि यह समतल दोनों समतलों $2x-3y+5z=2$ और $x+y+2z=3$ के लंबवत है, इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = (2, -3, 5)$ और $\vec{n_2} = (1, 1, 2)$ के सदिश गुणनफल (cross product) के समानांतर होगा।$\vec{n} = \vec{n_1} 	imes \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 2 & -3 & 5 \ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(-6-5) - \hat{j}(4-5) + \hat{k}(2+3) = -11\hat{i} + 1\hat{j} + 5\hat{k}$.अतः, $(a, b, c) = (-11, 1, 5)$.इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $-11x + y + 5z - 2(-11) + 3(1) - 4(5) = 0$$-11x + y + 5z + 22 + 3 - 20 = 0$$-11x + y + 5z + 5 = 0 \Rightarrow 11x - y - 5z = 5$दोनों पक्षों को $11$ से विभाजित करने पर, हमें $x - \frac{1}{11}y - \frac{5}{11}z = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।$x + py + qz = r$ के साथ तुलना करने पर, $r = \frac{5}{11}$ प्राप्त होता है।

यदि बिंदु $(2,-3,4)$ से गुजरने वाले और दोनों समतलों $2x-3y+5z=2$ तथा $x+y+2z=3$ के लंबवत समतल का समीकरण $x+py+qz=r$ है, तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि रेखा $\frac{x - x_1}{l} = \frac{y - y_1}{m} = \frac{z - z_1}{n}$ समतल $ax + by + cz + d = 0$ के समांतर है,तो:

वह बिंदु जहाँ रेखा $r = i - j + k + t(i + j - k)$ समतल $r \cdot (i + j + k) = 5$ से मिलती है,उसका स्थिति सदिश ज्ञात कीजिए।

$\lambda$ का वह मान जिसके लिए सरल रेखा $\frac{x-\lambda}{3}=\frac{y-1}{2+\lambda}=\frac{z-3}{-1}$, समतल $x-2y=0$ पर स्थित हो, है

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