જો પદાવલિ 5^{2n} - 48n + k એ તમામ n in N માટે | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24)

Vedclass · Accepted Answer

$23$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $f(n) = 5^{2n} - 48n + k = 25^n - 48n + k$.આપણે $25^n$ ને $(1 + 24)^n$ તરીકે લખી શકીએ.દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(1 + 24)^n = 1 + n(24) + \frac{n(n-1)}{2}(24)^2 + \dots + 24^n$.તેથી,$25^n = 1 + 24n + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,$f(n) = 1 + 24n - 48n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n) = 1 - 24n + k + 24^2 	imes \frac{n(n-1)}{2} + \dots + 24^n$.$f(n)$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,$(1 - 24n + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.કારણ કે $24n$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય છે,તેથી $(1 + k)$ એ $24$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.આમ,$1 + k = 24m$ કોઈ પૂર્ણાંક $m$ માટે.$k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત માટે,$m = 1$ લેતા,$1 + k = 24$,તેથી $k = 23$.

જો પદાવલિ $5^{2n} - 48n + k$ એ તમામ $n \in N$ માટે $24$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો $k$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત શોધો.

Similar Questions

સંખ્યા $(101)^{100}-1$ એ નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

$x^n + y^n$ એ કોના વડે વિભાજ્ય છે?

જ્યારે બહુપદી $x^{64} + x^{27} + 1$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે મળતી શેષ કેટલી છે?

$m \in \mathbb{N}$ ની કઈ કિંમતો માટે,વિભાજ્યતા $(x+y) \mid (x^m+y^m)$ સાચી છે?

$n = 1, 2, 3, \ldots$ માટે સંખ્યાઓ $a_n = 6^n - 5n$ ને $25$ વડે ભાગતા મળતી શેષ કેટલી છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module