यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $F_1(-1, 0)$ और $F_2(1, 0)$ दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$ की नाभियाँ हैं। मान लीजिए कि एक परवलय जिसका शीर्ष मूल बिंदु पर है और नाभि $F_2$ पर है,दीर्घवृत्त को प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $M$ पर और चतुर्थ चतुर्थांश में बिंदु $N$ पर काटता है।
$(1)$ त्रिभुज $F_1 M N$ का लंबकेंद्र है
$(A)$ $\left(-\frac{9}{10}, 0\right)$ $(B)$ $\left(\frac{2}{3}, 0\right)$ $(C)$ $\left(\frac{9}{10}, 0\right)$ $(D)$ $\left(\frac{2}{3}, \sqrt{6}\right)$
$(2)$ यदि $M$ और $N$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ $R$ पर मिलती हैं और $M$ पर परवलय का अभिलंब $x$-अक्ष को $Q$ पर मिलता है,तो त्रिभुज $M Q R$ के क्षेत्रफल और चतुर्भुज $M F_1 N F_2$ के क्षेत्रफल का अनुपात है
$(A)$ $3: 4$ $(B)$ $4: 5$ $(C)$ $5: 8$ $(D)$ $2: 3$

परवलय $(x - 1)^2 = 4(y - 2)$ और दीर्घवृत्त $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y - 2)^2}{2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1^2 + m_2^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $e_{1}$ और $e_{2}$ क्रमशः दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{18}+\frac{y^{2}}{4}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}=1$ की उत्केंद्रताएँ हैं,और $(e_{1}, e_{2})$ दीर्घवृत्त $15x^{2}+3y^{2}=k$ पर एक बिंदु है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक वृत्त पर विचार करें जिसका केंद्र परवलय $y^2 = 2px$ की नाभि पर स्थित है और यह परवलय की नियता (directrix) को स्पर्श करता है। तब,वृत्त और परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु है

परवलय $y^2 = 4x$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।