परवलय $(x - 1)^2 = 4(y - 2)$ और दीर्घवृत्त $\frac{(x - 1)^2}{1} + \frac{(y - 2)^2}{2} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की प्रवणताएँ $m_1$ और $m_2$ हैं। तब $m_1^2 + m_2^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि वक्र $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ और $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{k}=1$ एक-दूसरे को लंबकोणीय काटते हैं, तो $k=$

वक्रों $C_{1}: \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$ और $C_{2}: \frac{x^{2}}{42}-\frac{y^{2}}{143}=1$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $T$ चौथे चतुर्थांश से होकर नहीं गुजरती है। यदि $T$,$C_{1}$ को $(x_{1}, y_{1})$ पर और $C_{2}$ को $(x_{2}, y_{2})$ पर स्पर्श करती है,तो $|2x_{1} + x_{2}|$ का मान $......$ है।

एक दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$,अतिपरवलय $H: \frac{x^{2}}{49}-\frac{y^{2}}{64}=-1$ के शीर्षों से होकर गुजरता है। दीर्घवृत्त $E$ के दीर्घ और लघु अक्ष,अतिपरवलय $H$ के अनुप्रस्थ और संयुग्मी अक्षों के साथ संपाती हैं। यदि $E$ और $H$ की उत्केंद्रताओं का गुणनफल $\frac{1}{2}$ है,और $l$ दीर्घवृत्त $E$ के नाभिलंब की लंबाई है,तो $113l$ का मान $....$ है।

मान लीजिए $e_1$ और $e_2$ समीकरण $x^2 - ax + 2 = 0$ के दो भिन्न मूल हैं।  मान लीजिए समुच्चय $S_1 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं} \} = (\alpha, \beta),$ और  $S_2 = \{a \in \mathbb{R} : e_1 \text{ और } e_2 \text{ क्रमशः दीर्घवृत्त और अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं} \} = (\gamma, \infty)।$ तो $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 4ax$ की दो परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ अक्ष को $P_1$ और $P_2$ पर मिलती हैं। यदि $S$ परवलय की नाभि है,तो $\frac{1}{SP_1} + \frac{1}{SP_2}$ का मान ज्ञात कीजिए।