परवलय y^2 = 4ax की दो परस्पर लंबवत स्पर्श रेख | vedclass

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Question

(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ की दो स्पर्श रेखाएँ बिंदुओं $t_1$ और $t_2$ पर हैं। चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $t_1 t_2 = -1$ है। बिंदु $t$ पर स्पर

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$\frac{1}{a}$

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(C) माना परवलय $y^2 = 4ax$ की दो स्पर्श रेखाएँ बिंदुओं $t_1$ और $t_2$ पर हैं। चूँकि स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए $t_1 t_2 = -1$ है। बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है। अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के लिए $y = 0$ रखने पर,$x = -at^2$ प्राप्त होता है। अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $P_1 = (-at_1^2, 0)$ और $P_2 = (-at_2^2, 0)$ हैं। परवलय की नाभि $S$ बिंदु $(a, 0)$ पर है। दूरियाँ $SP_1 = a(1 + t_1^2)$ और $SP_2 = a(1 + t_2^2)$ हैं। हमें $\frac{1}{SP_1} + \frac{1}{SP_2} = \frac{1}{a(1 + t_1^2)} + \frac{1}{a(1 + t_2^2)}$ की गणना करनी है। $t_2 = -\frac{1}{t_1}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{a(1 + t_1^2)} + \frac{t_1^2}{a(t_1^2 + 1)} = \frac{1 + t_1^2}{a(1 + t_1^2)} = \frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।

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यदि रेखा $y = \sqrt{3}x$ वक्र $x^4 + ax^2y + bxy + cx + dy + 6 = 0$ को $A$,$B$,$C$ और $D$ पर काटती है,तो $OA \cdot OB \cdot OC \cdot OD$ का मान ज्ञात कीजिए,(जहाँ $O$ मूलबिंदु है)।

अतिपरवलयों $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ और $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ की नाभियों द्वारा निर्मित चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

वक्रों $y^{2}=4ax$ और $x^{2}=4by$ के प्रतिच्छेदन का कोण ज्ञात कीजिए।

यदि वक्र $\frac{x^2}{\alpha} + \frac{y^2}{4} = 1$ और $y^3 = 16x$ समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो $\alpha$ का मान है

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