मूलबिंदु $O$ पर केंद्र वाले दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता $\frac{\sqrt{3}}{2}$ है और इसकी नियताएँ $x = \pm \frac{4\sqrt{6}}{3}$ हैं। मान लीजिए $H : \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ एक अतिपरवलय है जिसकी उत्केंद्रता $E$ के अर्ध-दीर्घ अक्ष की लंबाई के बराबर है, और जिसकी नाभिलंब की लंबाई $E$ के लघु अक्ष की लंबाई के बराबर है। तब $H$ की नाभियों के बीच की दूरी है:
- A$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$
- B$\frac{4\sqrt{2}}{7}$
- C$\frac{4}{\sqrt{7}}$
- D$\frac{8}{7}$
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यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ और अतिपरवलय $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{b^2}=1$ की नाभियाँ संपाती हैं,तो $b^2$ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि $e_{1}$ दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (जहाँ $a > b$) की उत्केंद्रता है और $e_{2}$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ की उत्केंद्रता है,तो $e_{1}^{2}+e_{2}^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
यदि दीर्घवृत्त $4x^2 + 9y^2 = 36$ एक ऐसे अतिपरवलय के साथ समनाभी (confocal) है जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2$ है,तो दीर्घवृत्त और अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु किस वृत्त पर स्थित हैं?
एक द्विघात बहुपद $y = f(x)$ जिसका अचर पद $3$ है,न तो $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और न ही काटता है और रेखा $x = 1$ के सापेक्ष सममित है। बहुपद के अग्रणी गुणांक का मान एक है। कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली $OXY$ में प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y = f(x)$ पर एक बिंदु $A(x_1, y_1)$ जिसका भुज $x_1 = 1$ है और एक बिंदु $B(x_2, y_2)$ जिसका कोटि $y_2 = 11$ है,दिए गए हैं,जहाँ $O$ मूलबिंदु है। सदिशों $\vec{OA}$ और $\vec{OB}$ का अदिश गुणनफल ज्ञात कीजिए।
माना $PQ$ परवलय $y^{2}=4x$ की एक नाभिलंब जीवा है जो बिंदु $(3, 0)$ पर $\frac{\pi}{2}$ का कोण अंतरित करती है। माना रेखाखंड $PQ$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a^{2}>b^{2}$ की भी एक नाभिलंब जीवा है। यदि $e$ दीर्घवृत्त $E$ की उत्केंद्रता है,तो $\frac{1}{e^{2}}$ का मान है
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