यदि रेखाएँ x^2+kxy+y^2=0 और x+y=1 एक समबाहु त | vedclass

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Question

(B) समीकरण $x^2+kxy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं के युग्म को दर्शाता है। मान लीजिए कि इन रेखाओं की ढलान $m_1$ और $m_2$ है। तीसरी रेख

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$16$

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(B) समीकरण $x^2+kxy+y^2=0$ मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं के युग्म को दर्शाता है। मान लीजिए कि इन रेखाओं की ढलान $m_1$ और $m_2$ है। तीसरी रेखा का समीकरण $x+y=1$ है,जिसे $y=-x+1$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए इसकी ढलान $m_3=-1$ है।चूंकि रेखाएँ एक समबाहु त्रिभुज बनाती हैं,इसलिए किन्हीं दो रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है।रेखा $y=mx$ और रेखा $x+y=1$ (ढलान $-1$) के बीच का कोण इस प्रकार है:$	an 60^{\circ} = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} ight|$$\sqrt{3} = \left| \frac{m+1}{1-m} ight|$दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:$3 = \frac{(m+1)^2}{(1-m)^2}$$3(1-2m+m^2) = m^2+2m+1$$3-6m+3m^2 = m^2+2m+1$$2m^2-8m+2 = 0$$m^2-4m+1 = 0$चूंकि $m = y/x$,हम इसे द्विघात समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:$(y/x)^2 - 4(y/x) + 1 = 0$$y^2 - 4xy + x^2 = 0$इसे $x^2+kxy+y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k=-4$ प्राप्त होता है।इसलिए,$k^2 = (-4)^2 = 16$.

यदि रेखाएँ $x^2+kxy+y^2=0$ और $x+y=1$ एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं,तो $k^2$ का मान क्या होगा?

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