यदि cos(log x) का आदि फलन (primitive) f(x){co | vedclass

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Question

(B) आदि फलन का अर्थ अनिश्चित समाकलन है। मान लीजिए $I = \int \cos(\log x) dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log

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$f^{\prime}(x) = \frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(B) आदि फलन का अर्थ अनिश्चित समाकलन है। मान लीजिए $I = \int \cos(\log x) dx$ है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \cos(\log x)$ और $dv = dx$ लें। तब $du = -\sin(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $I = x \cos(\log x) - \int x \cdot (-\sin(\log x)) \cdot \frac{1}{x} dx = x \cos(\log x) + \int \sin(\log x) dx$। अब,$\int \sin(\log x) dx$ का खंडशः समाकलन करें: $u = \sin(\log x)$,$dv = dx$। $I = x \cos(\log x) + [x \sin(\log x) - \int x \cdot \cos(\log x) \cdot \frac{1}{x} dx]$। $I = x \cos(\log x) + x \sin(\log x) - I$। $2I = x [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$। $I = \frac{x}{2} [\cos(\log x) + \sin(\log x)] + C$। इसकी तुलना $f(x)\{\cos(g(x)) + \sin(h(x))\}$ से करने पर,हमें $f(x) = \frac{x}{2}$,$g(x) = \log x$,और $h(x) = \log x$ प्राप्त होता है। अतः,$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx}(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2}$। इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

यदि $\cos(\log x)$ का आदि फलन (primitive) $f(x)\{\cos(g(x)) + \sin(h(x))\}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

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$\int x^3(\log x)^2 \, dx = $

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